Question

△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a=3，cosA=

6

3

，B=A+

π

2

．
（Ⅰ）求b的值；
（Ⅱ）求△ABC的面积．

Answer 1

考点：正弦定理

专题：解三角形

分析：（Ⅰ）利用cosA求得sinA，进而利用A和B的关系求得sinB，最后利用正弦定理求得b的值．
（Ⅱ）利用sinB，求得cosB的值，进而根两角和公式求得sinC的值，最后利用三角形面积公式求得答案．

解答： 解：（Ⅰ）∵cosA=

6

3

，
∴sinA=

1- 6 9

=

3

3

，
∵B=A+

π

2

．
∴sinB=sin（A+

π

2

）=cosA=

6

3

，
由正弦定理知

a

sinA

=

b

sinB

，
∴b=

a

sinA

•sinB=

3

3 3

×

6

3

=3

2

．
（Ⅱ）∵sinB=

6

3

，B=A+

π

2

＞

π

2

∴cosB=-

1- 6 9

=-

3

3

，
sinC=sin（π-A-B）=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=

3

3

×（-

3

3

）+

6

3

×

6

3

=

1

3

，
∴S=

1

2

a•b•sinC=

1

2

×3×3

2

×

1

3

=

3 2

2

．

点评：本题主要考查了正弦定理的应用．解题过程中结合了同角三角函数关系，三角函数恒等变换的应用，注重了基础知识的综合运用．