Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦点为（

5

，0），离心率为

5

3

．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若动点P（x₀，y₀）为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程．

Answer 1

考点：轨迹方程,椭圆的标准方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）根据焦点坐标和离心率求得a和b，则椭圆的方可得．
（2）设出切线的方程，带入椭圆方程，整理后利用△=0，整理出关于k的一元二次方程，利用韦达定理表示出k₁•k₂，进而取得x₀和y₀的关系式，即P点的轨迹方程．

解答： 解：（1）依题意知

a2-b2=5 c a = 5 a = 5 3

，求得a=3，b=2，
∴椭圆的方程为

x2

9

+

y2

4

=1．
（2）①当两条切线中有一条斜率不存在时，即A、B两点分别位于椭圆长轴与短轴的端点，P的坐标为（±3，±2），符合题意，
②当两条切线斜率均存在时，设过点P（x₀，y₀）的切线为y=k（x-x₀）+y₀，

x2

9

+

y2

4

=

x2

9

+

[k(x-x0)+y0]2

4

=1，整理得（9k²+4）x²+18k（y₀-kx₀）x+9[（y₀-kx₀）²-4]=0，
∴△=[18k（y₀-kx₀）]²-4（9k²+4）×9[（y₀-kx₀）²-4]=0，
整理得（x₀²-9）k²+2x₀×y₀×k+（y₀²-4）=0，
∴-1=k₁•k₂=

y 2 0 -4

x 2 0 -9

=-1，
∴x₀²+y₀²=13．
把点（±3，±2）代入亦成立，
∴点P的轨迹方程为：x²+y²=13．

点评：本题主要考查了椭圆的标准方程，轨迹方程的相关问题．对于求轨迹方程，最重要的是建立模型求得x和y关系．