Question

在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程ρ=2cosθ，θ∈[0，

π

2

]．
（Ⅰ）求C的参数方程；
（Ⅱ）设点D在C上，C在D处的切线与直线l：y=

3

x+2垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，确定D的坐标．

Answer 1

考点：参数方程化成普通方程,利用导数研究曲线上某点切线方程,圆的参数方程

专题：坐标系和参数方程

分析：（Ⅰ）半圆C的极坐标方程化为直角坐标方程为 （x-1）²+y²=1，令x-1=cosα∈[-1，1]，y=sinα，可得半圆C的参数方程．
（Ⅱ）由题意可得直线CD和直线l平行．设点D的坐标为（1+cosα，sinα），根据直线CD和直线l的斜率相等求得 cotα 的值，可得α 的值，从而得到点D的坐标．

解答： 解：（Ⅰ）半圆C的极坐标方程ρ=2cosθ，θ∈[0，

π

2

]，即 ρ²=2ρcosθ，
化为直角坐标方程为 （x-1）²+y²=1，x∈[0，2]、y∈[0，1]．
令x-1=cosα∈[-1，1]，y=sinα，α∈[0，π]．
故半圆C的参数方程为

x=1+cosα y=sinα

，α∈[0，π]．
（Ⅱ）由于点D在C上，半圆C在D处的切线与直线l：y=

3

x+2垂直，
∴直线CD和直线l平行，故直线CD和直线l斜率相等．
设点D的坐标为（1+cosα，sinα），∵C（1，0），∴

sinα-0

(1+cosα)-1

=

3

，
解得tanα=

3

，即α=

π

3

，
故点D的坐标为（

3

2

，

3

2

）．

点评：本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程，把直角坐标方程化为参数方程，注意参数的范围，属于基础题．