Question

如图，点A为圆外一点，过点A作圆的两条切线，切点分别为B，C，ADE是圆的割线，连接CD，BD，BE，CE．
（1）求证：BE•CD=BD•CE；
（2）延长CD交AB于F，若CE∥AB，证明：F为线段AB的中点．

Answer 1

考点：与圆有关的比例线段,圆的切线的性质定理的证明

专题：选作题,立体几何

分析：（1）证明△ADC∽△ACE，可得

CD

CE

=

AC

AE

，同理，

BD

BE

=

AB

AE

，利用AB=AC，即可得出结论；
（2）由切割线定理，得FB²=FD•FC，证明△AFD∽△CFA，可得AF²=FD•FC，即可证明F为线段AB的中点．

解答： （1）证明：由题意可知∠ACD=∠AEC，∠CAD=∠EAC
∴△ADC∽△ACE，∴

CD

CE

=

AC

AE

，
同理，

BD

BE

=

AB

AE

，
又∵AB=AC，
∴

CD

CE

=

BD

BE

，∴BE•CD=BD•CE        …（5分）
（2）解：如图，由切割线定理，得FB²=FD•FC，
∵CE∥AB，
∴∠FAD=∠AEC，
又∵AB切圆于B，∴∠ACD=∠AEC，∴∠FAD=∠FCA，
∴△AFD∽△CFA，∴

AE

CF

=

FD

AF

，即AF²=FD•FC，
∴FB²=AF²，即FB=FA，∴F为线段AB的中点．                  …（10分）

点评：本题考查三角形相似的判断与运用，考查切割线定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．