Question

已知函数f（x）=sin（x+θ）+acos（x+2θ），其中a∈R，θ∈（-

π

2

，

π

2

）
（1）当a=

2

，θ=

π

4

时，求f（x）在区间[0，π]上的最大值与最小值；
（2）若f（

π

2

）=0，f（π）=1，求a，θ的值．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,两角和与差的余弦函数,正弦函数的定义域和值域

专题：三角函数的求值

分析：（1）由条件利用两角和差的正弦公式、余弦公式化简函数的解析式为f（x）=-sin（x-

π

4

），再根据x∈[0，π]，利用正弦函数的定义域和值域求得函数的最值．
（2）由条件可得θ∈（-

π

2

，

π

2

），cosθ-asin2θ=0 ①，-sinθ-acos2θ=1 ②，由这两个式子求出a和θ的值．

解答： 解：（1）当a=

2

，θ=

π

4

时，f（x）=sin（x+θ）+acos（x+2θ）
=sin（x+

π

4

）+

2

cos（x+

π

2

）=

2

2

sinx+

2

2

cosx-

2

sinx=-

2

2

sinx+

2

2

cosx
=sin（

π

4

-x）=-sin（x-

π

4

）．
∵x∈[0，π]，∴x-

π

4

∈[-

π

4

，

3π

4

]，
∴sin（x-

π

4

）∈[-

2

2

，1]，
∴-sin（x-

π

4

）∈[-1，

2

2

]，
故f（x）在区间[0，π]上的最小值为-1，最大值为

2

2

．
（2）∵f（x）=sin（x+θ）+acos（x+2θ），a∈R，θ∈（-

π

2

，

π

2

），
f（

π

2

）=0，f（π）=1，
∴cosθ-asin2θ=0 ①，-sinθ-acos2θ=1 ②，
由①求得sinθ=

1

2a

，由②可得cos2θ=

1+sinθ

-a

=-

1

a

-

1

2a2

．
再根据cos2θ=1-2sin²θ，可得-

1

a

-

1

2a2

=1-2×

1

4a2

，
求得 a=-1，∴sinθ=-

1

2

，θ=-

π

6

．
综上可得，所求的a=-1，θ=-

π

6

．

点评：本题主要考查两角和差的正弦公式、余弦公式，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．