Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足S_n=

1

2

n²+

1

2

n．数列{b_n}满足b₁=1，2b_n-b_n-1=0（n≥2，n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）设c_n=a_nb_n，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列的概念及简单表示法

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）利用公式法求得a_n利用等比数列的定义求得b_n；
（2）利用错位相减法求得数列的和即可．

解答： 解：（Ⅰ）当n＞1时，a_n=S_n-S_n-1=n，
当n=1时，求得a₁=s₁=1．所以a_n=n．
因为

bn

bn-1

=

1

2

且b₁=1，所以b_n=(

1

2

)n-1．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ），知c_n=n•(

1

2

)n-1．
所以T_n=1•(

1

2

)0+2•(

1

2

)1+…+n•(

1

2

)n-1，

1

2

T_n=1•(

1

2

)1+2•(

1

2

)2+…+n•(

1

2

)n，
于是

1

2

T_n=1+(

1

2

)1+(

1

2

)2+…+(

1

2

)n-1-n•(

1

2

)n=

1-( 1 2 )n

1- 1 2

-n•(

1

2

)n，
化简，得T_n=4-

2n+4

2n

．…（12分）

点评：本题主要考查公式法求数列的通项公式及等比数列的定义，考查数列求和的方法错位相减法，考查学生的运算能力，属中档题．