Question

幂函数y=x^a，当a取不同的正数时，在区间[0，1]上它们的图象是一族美丽的曲线（如图），设点A（1，0）、B（0，1），若y=x^α，y=x^β的图象与线段AB分别交于M、N，且

BM

=

NA

，则4α+β的最小值为

 

．

Answer 1

考点：相等向量与相反向量,幂函数的性质

专题：函数的性质及应用,平面向量及应用

分析：利用互为反函数的性质和幂函数的性质可得：α=

1

β

．且α＞0，β＞0．代入利用基本不等式即可得出．

解答： 解：由互为反函数的性质和幂函数的性质可得：α=

1

β

．且α＞0，β＞0．
∴4α+β=4α+

1

α

≥2

4α• 1 α

=4，当且仅当α=

1

2

时取等号．
因此4α+β的最小值为4．
故答案为：4．

点评：本题考查了反函数的性质和幂函数的性质、基本不等式的性质，属于中档题．