Question

3．已知函数f（x）=2x³-3x²+1，对于区间$[\frac{1}{2}，2]$上的任意x₁，x₂，|f（x₁）-f（x₂）|的最大值是5．

Answer 1

分析 对于区间$[\frac{1}{2}，2]$上的任意x₁，x₂求解|f（x₁）-f（x₂）|的最大值，等价于对于区间$[\frac{1}{2}，2]$上的任意x，都有f（x）_max-f（x）_min的绝对值的最大值，利用导数确定函数的单调性，求最值，即可得出结论．

解答 解：对于区间$[\frac{1}{2}，2]$上的任意x₁，x₂，|f（x₁）-f（x₂）|的最大值，等价于对于区间$[\frac{1}{2}，2]$上的任意x，都有f（x）_max-f（x）_min的值，
∵函数f（x）=2x³-3x²+1，∴f′（x）=6x²-6x=6x（x-1），
∵x∈$[\frac{1}{2}，2]$，∴函数在[1，2]上单调递增，在[$\frac{1}{2}$，1]上单调递减，
∴f（x）_max=f（2）=16-12+1=5，f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{4}$$-\frac{3}{4}$+1=$\frac{1}{2}$，f（x）_min=f（1）=0
∴f（x）_max-f（x）_min=5，
∴对于区间$[\frac{1}{2}，2]$上的任意x₁，x₂，|f（x₁）-f（x₂）|的最大值是：5．
故答案为：5．

点评 本题考查导数知识的运用，考查恒成立问题，正确求导，确定函数的最值是关键．