Question

12．将6本不同的书分成三堆，各有多少种方法？
（1）一份1本，一份2本，一份3本；
（2）每份2本；
（3）一份4本，其余两份都是1本；
（4）分给甲乙丙三人，甲得1本，乙得2本，丙得3本；
（5）分给甲、乙、丙三人，一人1本，一人2本，一人3本；
（6）平均分给甲、乙、丙三人；
（7）分给甲、乙、丙三人，甲得4本，乙丙各得1本．

Answer 1

分析 根据分组分配问题的原则，先合理的分组，再分配即可，注意平均分组的问题

解答 解：（1）无序不均匀分组问题．先选1本有C¹₆种选法；再从余下的5本中选2本有C²₅种选法；最后余下3本全选有C³₃种方法，故共有C¹₆C²₅C³₃=60种．
（2）有序均匀分组，6本不同的书平均分成三堆，有$\frac{{C}_{6}^{2}{C}_{4}^{2}{C}_{2}^{2}}{{A}_{3}^{3}}$=15种分堆方法，
（3）有序不均匀分组，有$\frac{{C}_{6}^{4}{C}_{2}^{1}{C}_{1}^{1}}{{A}_{2}^{2}}$=15种分堆方法，
（4）甲选1本有C¹₆种选法；乙再从余下的5本中选2本有C²₅种选法；丙最后余下3本全选有C³₃种方法，故共有C¹₆C²₅C³₃=60种
（5）由于甲、乙、丙是不同的三人，在第（1）题基础上，还应考虑再分配，共有C¹₆C²₅C³₃A³₃=360种．
（6）由于甲、乙、丙是不同的三人，在第（2）题基础上，还应考虑再分配，共有15A³₃=90种，
（7）先选4本分别甲有C⁴₆种选法；再从余下的2本中选1本分给乙，剩下的一本分给丙，有C¹₂种选法，故共有C⁴₆C¹₂=30种

点评 本题考查排列、组合及简单计数问题，正确区分无序不均匀分组问题．有序不均匀分组问题．无序均匀分组问题．是解好组合问题的一部分；本题考查计算能力，理解能力