Question

17．设x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}{x+2y≥2}\\{2x+y≤4}\\{4x-y≥-1}\end{array}\right.$，则函数z=$\frac{x-y}{x+y+2}$的取值范围是[-$\frac{5}{11}$，$\frac{1}{2}$]．

Answer 1

分析 由题意作平面区域，化简函数z=$\frac{x-y}{x+y+2}$=-1+$\frac{2}{1+\frac{y+1}{x+1}}$，而$\frac{y+1}{x+1}$的几何意义是阴影内的点与点D（-1，-1）连线的斜率，从而求得$\frac{1}{3}$≤$\frac{y+1}{x+1}$≤$\frac{8}{3}$，从而由函数的单调性求解即可．

解答 解：由题意作平面区域如下，
函数z=$\frac{x-y}{x+y+2}$=$\frac{（x+1）-（y+1）}{（x+1）+（y+1）}$
=-1+$\frac{2（x+1）}{（x+1）+（y+1）}$=-1+$\frac{2}{1+\frac{y+1}{x+1}}$，
$\frac{y+1}{x+1}$的几何意义是阴影内的点与点D（-1，-1）连线的斜率，
而且B（$\frac{1}{2}$，3），C（2，0）；
故k_DB=$\frac{3+1}{\frac{1}{2}+1}$=$\frac{8}{3}$，k_DC=$\frac{0+1}{2+1}$=$\frac{1}{3}$，
故$\frac{1}{3}$≤$\frac{y+1}{x+1}$≤$\frac{8}{3}$，
故$\frac{6}{11}$≤$\frac{2}{1+\frac{y+1}{x+1}}$≤$\frac{3}{2}$，
故-$\frac{5}{11}$≤-1+$\frac{2}{1+\frac{y+1}{x+1}}$≤$\frac{1}{2}$，
故答案为：[-$\frac{5}{11}$，$\frac{1}{2}$]．

点评 本题考查了学生的化简运算能力，同时考查了数形结合的思想方法应用，同时考查了转化思想的应用．