Question

8．函数f（x）=（1+ax²）e^x（a≠0）在R上有两个极值点，则实数a的取值范围是（-∞，0）∪（1，+∞）．

Answer 1

分析 求函数的导数，利用函数取值极值转化为f′（x）=0有两个不同的根进行求解即可．

解答 解：函数的导数f′（x）=2axe^x+（1+ax²）e^x=（1+2ax+ax²）e^x，
若f（x）=（1+ax²）e^x（a≠0）在R上有两个极值点，
则f′（x）=（1+2ax+ax²）e^x，在R上不是单调函数，
即即f′（x）=（1+2ax+ax²）e^x=0，由两个不等的实根，
即1+2ax+ax²=0，有两个不等的实根，
则判别式△=4a²-4a＞0，
即a＞1或a＜0，
故答案为：（-∞，0）∪（1，+∞）．

点评 本题主要考查导数的应用，根据函数极值和导数之间的关系转化为f′（x）=0有两个不同的实根是解决本题的关键．