Question

5．如图，直三棱柱ABC-A′B′C′，∠BAC=90°，AB=AC=2，AA′=1，点M，N分别为A′B和B′C′的中点．
（I）证明：MN∥平面A′ACC′；
（Ⅱ）求三棱锥A′-MNA的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）直接由中位线定理可得线线平行，进一步利用线面平行的判定定理得答案；
（Ⅱ）利用等积法，把三棱锥A′-MNA的体积转化为三棱锥M-A′AN的体积求解．

解答 （Ⅰ）证明：如图，
连接AB′、AC′，
在△AB′C′中，
∵M，N分别为A′B和B′C′的中点，
∴MN∥AC′，
AC′?面A′ACC′，MN?面A′ACC′，
∴MN∥平面A′ACC′；
（Ⅱ）解：在直三棱柱ABC-A′B′C′中，
∵∠BAC=90°，AB=AC=2，∴△A′B′C′为等腰直角三角形，
则A′N⊥B′C′，
又AA′⊥B′C′，
∴B′C′⊥面A′AN，即BC⊥面A′AN，
∴三棱锥B-A′AN的高为$\frac{1}{2}$BC=$\sqrt{2}$，
M为A′B的中点，∴M到面A′AN的距离为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
又△A′AN的面积为$\frac{1}{2}×A′N×AA′=\frac{1}{2}×\sqrt{2}×1=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴${V}_{A′-MAN}={V}_{M-A′AN}=\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1}{6}$．

点评 本题考查直线与平面平行的判定，考查了棱锥体积的求法，训练了等积法的应用，是中档题．