Question

15．己知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线的离心率为$\frac{\sqrt{5}}{2}$，则其渐近线方程为y=±$\frac{1}{2}$x或y=±2x，两渐近线的夹角为arctan$\frac{4}{3}$．

Answer 1

分析 运用离心率公式和a，b，c的关系，可得a=2b，讨论焦点在x，y轴上时，渐近线方程，运用两直线夹角的正切公式计算即可得到所求值．

解答 解：由题意可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
即为c=$\frac{\sqrt{5}}{2}$a，由b²=c²-a²=$\frac{1}{4}$a²，
即a=2b，
当焦点在x轴上时，渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x，
即为y=±$\frac{1}{2}$x；
当焦点在y轴上时，渐近线方程为y=±$\frac{a}{b}$x，
即为y=±2x；
当焦点在x轴上时，两渐近线的夹角的正切为$\frac{\frac{1}{2}-（-\frac{1}{2}）}{1+\frac{1}{2}•（-\frac{1}{2}）}$=$\frac{4}{3}$；
当焦点在y轴上时，两渐近线的夹角的正切为|$\frac{2-（-2）}{1+2•（-2）}$|=$\frac{4}{3}$．
故答案为：y=±$\frac{1}{2}$x或y=±2x；arctan$\frac{4}{3}$．

点评 本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的渐近线方程的求法，以及夹角的大小，考查离心率公式的运用，化简运算能力，属于中档题．