Question

20．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，asinBcosC+csinBcosA=b．
（1）若b=2，且b²+c²-bc=a²，求△ABC的面积；
（2）若点M是BC的中点，求tan∠MAC的最大值．

Answer 1

分析 （1）在△ABC中，利用正弦定理与两角和的正弦可知，sin（A+C）=sinB=1，由已知及余弦定理可求cosA=$\frac{1}{2}$，可得A，C的值，由正弦定理即可解得a，c，利用三角形面积公式即可得解．
（2）由已知可设CM=BM=x，AB=c，求得tan∠MAB=$\frac{x}{c}$，tan∠CAB=$\frac{2x}{c}$，利用两角和的正切函数公式可得$\frac{\frac{x}{c}+tan∠CAM}{1-\frac{x}{c}•tan∠CAM}$=$\frac{2x}{c}$，解得tan∠MAC=$\frac{x}{c+\frac{2{x}^{2}}{c}}$，利用基本不等式即可解得其最大值．

解答 解：（1）在△ABC中，∵asinBcosC+csinBcosA=b，
∴由正弦定理得：sinAsinBcosC+sinCsinBcosA=sinB，sinB≠0，
∴sinAcosC+sinCcosA=1，
∴sin（A+C）=1，
又∵A+B+C=π，
∴sin（A+C）=sin（π-B）=sinB=1，
∴B=$\frac{π}{2}$．
∵b=2，且b²+c²-bc=a²，
∴cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{bc}{2bc}$=$\frac{1}{2}$，可得：A=$\frac{π}{3}$，C=π-A-B=$\frac{π}{6}$，
∴由正弦定理$\frac{a}{sin\frac{π}{3}}$=$\frac{c}{sin\frac{π}{6}}$=$\frac{b}{sinB}$=$\frac{2}{1}$，解得：a=$\sqrt{3}$，c=1，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$ac=$\frac{1}{2}×\sqrt{3}×1$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（2如图，由（1）可知B为直角，且点M是BC的中点，设CM=BM=x，AB=c，

则：tan∠MAB=$\frac{x}{c}$，tan∠CAB=$\frac{2x}{c}$，∠CAB=∠MAB+∠CAM，
可得：tan∠CAB=tan（∠MAB+∠CAM）=$\frac{tan∠MAB+tan∠CAM}{1-tan∠MABtan∠CAM}$
=$\frac{\frac{x}{c}+tan∠CAM}{1-\frac{x}{c}•tan∠CAM}$=$\frac{2x}{c}$，
解得：tan∠MAC=$\frac{x}{c+\frac{2{x}^{2}}{c}}$≤$\frac{x}{2\sqrt{c×\frac{2{x}^{2}}{c}}}$=$\frac{1}{2\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$．
故tan∠MAC的最大值为$\frac{\sqrt{2}}{4}$．

点评 本题考查两角和与差的正弦函数、正切函数公式的应用，考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，基本不等式在解三角形中的应用，属于中档题．