Question

12．已知数列{a_n}的前n项和S_n=pn²-n，其中p∈R，n∈N^*，且a₃=4，则（　　）

• A． {a_n}不是等差数列，且p=1
• B． {a_n}是等差数列，且p=1
• C． {a_n}不是等差数列，且p=-1
• D． {a_n}是等差数列，且p=-1

Answer 1

分析 数列{a_n}的前n项和S_n=pn²-n，其中p∈R，n∈N^*，可得a₁=p-1，当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1．可得a_n=2pn-（p+1）是关于n的一次函数的形式，因此数列{a_n}是等差数列．利用a₃=4，解得p，即可判断出结论．

解答 解：∵数列{a_n}的前n项和S_n=pn²-n，其中p∈R，n∈N^*，
∴a₁=p-1，当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=pn²-n-[p（n-1）²-（n-1）]=2pn-（p+1）．
当n=1时也成立，∴a_n=2pn-（p+1）是关于n的一次函数的形式，因此数列{a_n}是等差数列．
∵a₃=4，则4=6p-p-1，解得p=1．
故选：B．

点评 本题考查了等差数列的定义通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．