Question

如图1，直角梯形中，,，． 交于点，点,分别在线段,上，且. 将图1中的沿翻折，使平面⊥平面（如图2所示），连结、，、.

（Ⅰ）求证：平面平面；

（Ⅱ）当三棱锥的体积最大时，求直线与平面所成角的正弦值．

            

Answer 1

解：（Ⅰ）∵，，

又交于点.

∴四边形是边长为2的正方形                 ………………………1分

∴，.

又∵平面

平面

∴                              ………………………3分

∵，∴                   ……………………4分

又

∴                                ………………………5分

∵

∴平面                          ………………………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

以为原点，的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系.                                                       ………………………7分

则，，，  

设，则（）

∵，∴                         …………………8分

∴

                   ………………………9分

∵，∴时，三棱锥体积最大，此时，为中点.

∵，∴也是的中点，∴，.…10分

设是面的法向量.

则

令，得                         ………………………11分

设与面所成角为

则

∴与平面所成角的正弦值为.          ………………………13分