Question

如图，在直角梯形ABEF中，将四边形DCEF沿CD折起，使∠FDA=60°，得到一个空间几何体如图所示．
（1）求证：BE∥平面ADF；
（2）求证：AF⊥平面ABCD；
（3）求三棱锥E-BCD的体积．

Answer 1

（1）证明：由已知条件可知BC∥AD，CE∥DF，折叠之后平行关系不变，
因为BC?平面ADF，AD?平面ADF，
所以BC∥平面ADF；同理CE∥平面ADF．
又∵BC∩CE=C，BC，CE?平面BCE，
∴平面BCE∥平面ADF．
∴BE∥平面ADF．
（2）证明：由于∠FDA=60°，FD=2，AD=1，
∴AF²=FD²+AD²-2×FD×AD×cos∠FDA=4+1-2×2×1×=3
即AF=
∴AF²+AD²=FD²，∴AF⊥AD．
又∵DC⊥FD，DC⊥AD，AD∩FD=D，AD，DF?平面ADF
∴DC⊥平面ADE，AF?平面ADF，
∴DC⊥AF，
∵AD∩DC=D，AD，DC?平面ABCD．
∴AF⊥平面ABCD．
（3）∵DC⊥EC，DC⊥BC，EC∩BC=C
∴DC⊥平面EBC
∵DF∥EC，AD∥BC，∠FDA=60°，∴∠ECB=60°，
又∵EC=1，BC=1，
∴S_△ECB=EC×BC×sin∠ECB==
∴V_E-BCD=V_D-EBC=．
分析：（1）根据折叠之后BC∥AD，CE∥DF的关系不变，根据线面平行的判定定理可得：BC∥平面ADF；CE∥平面ADF，再根据面面平行的判定两点可得面面平行，进而得到线面平行．
（2）由于∠FDA=60°，FD=2，AD=1，根据余弦定理求出AF，而AF²+AD²=FD²，满足勾股定理则AF⊥AD，又DC⊥FD，DC⊥AD，AD∩FD=D；AD，DF?平面ADF，从而DC⊥平面ADE，AF?平面ADF，则DC⊥AF，AD∩DC=D，AD，DC?平面ABCD，根据线面垂直的判定定理可知AF⊥平面ABCD．
（3）确定DC⊥平面EBC，求出S_△ECB=EC×BC×sin∠ECB，即可求得体积．
点评：本题主要考查了直线与平面平行的判定，考查直线与平面垂直的判定，考查三棱锥体积的计算，同时考查了化归与转化的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力，属于中档题．