Question

6．如图，D是直角三角形△ABC斜边BC上一点，AC=$\sqrt{3}$DC．
（1）若∠DAC=$\frac{π}{6}$，求角B的大小；
（2）若BD=2DC，且AD=2$\sqrt{3}$，求DC的长．

Answer 1

分析 （1）根据正弦定理即可求出，
（2）根据余弦地理和同角的三角函数的关系即可求出．

解答 解：（1）在△ABC中，根据正弦定理，有$\frac{AC}{sin∠ADC}=\frac{DC}{sin∠DAC}$．
∵$AC=\sqrt{3}DC$，
∴$sin∠ADC=\sqrt{3}sin∠DAC=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．
又$∠ADC=∠B+∠BAD=∠B+\frac{π}{3}＞\frac{π}{3}$，
∴$∠ADC=\frac{2π}{3}$，
∴$∠C=π-\frac{2π}{3}-\frac{π}{6}=\frac{π}{6}$，
∴$∠B=\frac{π}{3}$；
（2）设DC=x，则$BD=2x，BC=3x，AC=\sqrt{3}x$，
∴$sinB=\frac{AC}{BC}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}，cosB=\frac{{\sqrt{6}}}{3}，AB=\sqrt{6}x$．
在△ABD中，AD²=AB²+BD²-2AB•BD•cosB，
即${（2\sqrt{3}）^2}=6{x^2}+4{x^2}-2×\sqrt{6}x×2x×\frac{{\sqrt{6}}}{3}=2{x^2}$，
得$x=\sqrt{6}$．故$DC=\sqrt{6}$．

点评 本题考查了正弦定理余弦定理的应用，以及解三角形的问题，属于中档题．