Question

16．已知各项为正的数列{a_n}满足${a_1}=\frac{1}{2}$，$a_{n+1}^2=\frac{1}{3}a_n^2+\frac{2}{3}{a_n}$，n∈N^*．
（Ⅰ）证明：0＜a_n＜a_n+1＜1（n∈N^*）；
（Ⅱ）求证：${a_1}+{a_2}+…+{a_n}＞n-\frac{9}{4}$（n∈N^*）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由$a_{n+1}^2=\frac{1}{3}a_n^2+\frac{2}{3}{a_n}$，得${{a}_{n+1}}^{2}-1=\frac{1}{3}（{{a}_{n}}^{2}+2{a}_{n}-3）=\frac{1}{3}（{a}_{n}-1）$（a_n+3），从而$\frac{1-{a}_{n+1}}{1-{a}_{n}}=\frac{1}{3}•\frac{{a}_{n}+3}{{a}_{n+1}+1}$＞0，进而a_n+1＜1，由${a}_{1}=\frac{1}{2}＜1$，得0＜a_n＜1，（n∈N^*），由此证明0＜a_n＜a_n+1＜1（n∈N^*）．
（Ⅱ）由$\frac{1-{a}_{n+1}}{1-{a}_{n}}$=$\frac{1}{3}•\frac{{a}_{n}+3}{{a}_{n+1}+1}$＜$\frac{7}{9}$，得1-a_n=（1-a₁）×$\frac{1-{a}_{2}}{1-{a}_{1}}$×$\frac{1-{a}_{3}}{1-{a}_{2}}$×…×$\frac{1-{a}_{n}}{1-{a}_{n-1}}$$＜\frac{1}{2}•（\frac{7}{9}）^{n-1}$，由此能证明${a_1}+{a_2}+…+{a_n}＞n-\frac{9}{4}$（n∈N^*）．

解答 证明：（Ⅰ）由$a_{n+1}^2=\frac{1}{3}a_n^2+\frac{2}{3}{a_n}$，
得${{a}_{n+1}}^{2}-1=\frac{1}{3}（{{a}_{n}}^{2}+2{a}_{n}-3）=\frac{1}{3}（{a}_{n}-1）$（a_n+3），
即$（{a}_{n+1}-1）（{a}_{n+1}+1）=\frac{1}{3}（{a}_{n}-1）（{a}_{n}+3）$，
得$\frac{1-{a}_{n+1}}{1-{a}_{n}}=\frac{1}{3}•\frac{{a}_{n}+3}{{a}_{n+1}+1}$＞0，
∴$1-{a}_{n+1}=（1-{a}_{1}）×\frac{1-{a}_{2}}{1-{a}_{1}}×\frac{1-{a}_{3}}{1-{a}_{2}}×…×$$\frac{1-{a}_{n+1}}{1-{a}_{n}}$
=$\frac{1}{2}×\frac{1}{{3}^{n}}×\frac{{a}_{1}+3}{{a}_{2}+1}×\frac{{a}_{2}+3}{{a}_{3}+1}×…×\frac{{a}_{n}+3}{{a}_{n+1}+1}$＞0，
∴a_n+1＜1，
又${a}_{1}=\frac{1}{2}＜1$，∴0＜a_n＜1，（n∈N^*），
∴${{a}_{n+1}}^{2}-{{a}_{n}}^{2}$=$\frac{2}{3}{a}_{n}$（1-a_n）＞0，
∴a_n+1＞a_n，
综上，得：0＜a_n＜a_n+1＜1（n∈N^*）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：
$\frac{1-{a}_{n+1}}{1-{a}_{n}}$=$\frac{1}{3}•\frac{{a}_{n}+3}{{a}_{n+1}+1}$＜$\frac{1}{3}•\frac{{a}_{n}+3}{{a}_{n}+1}$=$\frac{1}{3}$（1+$\frac{2}{{a}_{n}+1}$）≤$\frac{1}{3}（1+\frac{2}{{a}_{1}+1}）$=$\frac{7}{9}$，
则n≥2时，1-a_n=（1-a₁）×$\frac{1-{a}_{2}}{1-{a}_{1}}$×$\frac{1-{a}_{3}}{1-{a}_{2}}$×…×$\frac{1-{a}_{n}}{1-{a}_{n-1}}$$＜\frac{1}{2}•（\frac{7}{9}）^{n-1}$，
∴（1-a₁）+（1-a₂）+（1-a₃）+…+（1-a_n）＜$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}•（\frac{7}{9}）+\frac{1}{2}（\frac{7}{9}）^{2}+…+\frac{1}{2}•（\frac{7}{9}）^{n-1}$，
即n-（a₁+a₂+a₃+…+a_n）＜$\frac{1}{2}•\frac{1-（\frac{7}{9}）^{n}}{1-\frac{7}{9}}$=$\frac{9}{4}$[1-（$\frac{7}{9}$）ⁿ]$＜\frac{9}{4}$，
∴${a_1}+{a_2}+…+{a_n}＞n-\frac{9}{4}$（n∈N^*）．

点评 本题考查数列与不等式的综合题，是中档题，解题时要认真审题，注意放缩法、不等式性质、数列知识的合理运用．