Question

6．已知a＞0，b＞0，且$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=1$．
（Ⅰ）求a+4b 的最小值；
（Ⅱ）求证：$\frac{b^2}{a}+\frac{a^2}{b}≥\frac{4ab}{a+b}$．

Answer 1

分析 （I）将式子乘以（$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$），展开后利用基本不等式即可得出最小值；
（II）化简$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=1$得出右侧式子为常数4，将左侧式子乘以（$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$）展开后利用基本不等式得出最小值为4，从而得出结论．

解答 解：（Ⅰ）∵a＞0，b＞0，且$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=1$，
∴a+4b=（a+4b）（$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$）=5+$\frac{4b}{a}$+$\frac{a}{b}$≥5+2$\sqrt{\frac{4b}{a}•\frac{a}{b}}$=9
当且仅当$\frac{4b}{a}$=$\frac{a}{b}$即a=2b时取等号，
结合$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=1$可得a=3且b=$\frac{3}{2}$，
故a+4b 的最小值为9；
（2）∵a＞0，b＞0，且$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=1$，
∴$\frac{a+b}{ab}$=1，∴$\frac{4ab}{a+b}$=4．
∴$\frac{{b}^{2}}{a}$+$\frac{{a}^{2}}{b}$=（$\frac{{b}^{2}}{a}$+$\frac{{a}^{2}}{b}$）（$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$）=（$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{a}^{2}}{{b}^{2}}$）+（$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}$）≥2+2=4．
当且仅当$\frac{b}{a}=\frac{a}{b}$即a=b=2时取等号．
∴$\frac{b^2}{a}+\frac{a^2}{b}≥\frac{4ab}{a+b}$．

点评 本题考查了基本不等式，不等式的证明，对式子进行乘1化简是关键．