Question

18．函数g（x）=Asinωx（A＞0，ω＞0）的最大值为2，其图象相邻两条对称轴之间的距离为$\frac{π}{2}$，将g（x）向右平移$\frac{π}{12}$个单位，再向上平移一个单位得到f（x）的图象
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）设$α∈（0，\frac{π}{2}）$，则$f（\frac{α}{2}）=2$，求α的值．

Answer 1

分析 （1）通过函数的最大值求出A，通过对称轴求出周期，利用周期公式求出ω，得到函数的解析式．
（2）通过f（x）的解析式，求出sin（$α-\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，通过α的范围，即可求出α的值．

解答 解：（1）∵函数f（x）的最大值是2，
∴A=2．
∵函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为$\frac{π}{2}$，
∴最小正周期T=π，
∴ω=2．
故函数f（x）的解析式为f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）+1…（6分）
（2）∵f（$\frac{α}{2}$）=2sin（$α-\frac{π}{6}$）+1=2，
即sin（$α-\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，…（9分）
∵0$＜α＜\frac{π}{2}$，
∴-$\frac{π}{6}$$＜α-\frac{π}{6}$$＜\frac{π}{3}$，…（10分）
∴$α-\frac{π}{6}$=$\frac{π}{6}$，故$α=\frac{π}{3}$…（12分）

点评 本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，三角函数的恒等变换及化简求值，考查计算能力，属于基础题．