Question

3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且$\sqrt{2}$asinA=（$\sqrt{2}$b-c）sinB+（$\sqrt{2}$c-b）sinC．
（1）求角A的大小；
（2）若a=$\sqrt{10}$，cosB=$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$，D为AC的中点，求BD的长．

Answer 1

分析 （I）由已知，利用正弦定理可得$\sqrt{2}$a²=（$\sqrt{2}$b-c）b+（$\sqrt{2}$c-b）c，化简可得2bc=$\sqrt{2}$（b²+c²-a²），再利用余弦定理即可得出cosA，结合A的范围即可得解A的值．
（Ⅱ）△ABC中，先由正弦定理求得AC的值，再由余弦定理求得AB的值，△ABD中，由余弦定理求得BD的值．

解答 解：（I）∵$\sqrt{2}asinA=（\sqrt{2}b-c）sinB+（\sqrt{2}c-b）sinC$，
∴由正弦定理可得：$\sqrt{2}$a²=（$\sqrt{2}$b-c）b+（$\sqrt{2}$c-b）c，即2bc=$\sqrt{2}$（b²+c²-a²），
∴由余弦定理可得：cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵A∈（0，π），
∴A=$\frac{π}{4}$．
（Ⅱ）∵由cosB=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，可得sinB=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
再由正弦定理可得$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}$，即$\frac{\sqrt{10}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{b}{\frac{\sqrt{5}}{5}}$，
∴得b=AC=2．
∵△ABC中，由余弦定理可得BC²=AB²+AC²-2AB•AC•cos∠A，
即10=AB²+4-2AB•2•$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
求得AB=3$\sqrt{2}$．
△ABD中，由余弦定理可得BD²=AB²+AD²-2AB•AD•cos∠A=18+1-6$\sqrt{2}$•$\frac{\sqrt{2}}{2}$=13，
∴BD=$\sqrt{13}$．

点评 本题考查了正弦定理余弦定理、三角形内角和定理、两角和差的正弦公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．