Question

13．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的左右焦点分别为F₁、F₂，设动圆过点F₂且与直线x=-1相切，记动圆的圆心的轨迹为E．
（1）求轨迹E的方程；
（2）在轨迹E上有两点M、N，椭圆C上有两点P、Q，满足$\overrightarrow{M{F}_{2}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0，且$\overrightarrow{M{F}_{2}}$∥$\overrightarrow{N{F}_{2}}$，$\overrightarrow{P{F}_{2}}$∥$\overrightarrow{Q{F}_{2}}$，求四边形PMQN面积的最小值．

Answer 1

分析 （1）由已知可得动圆圆心轨迹为抛物线，且抛物线C的焦点为（1，0），准线方程为x=1，由此能求出动圆圆心轨迹方程；
（2）当直线斜率不存在时，|MN|=4，此时PQ的长即为椭圆长轴长，|PQ|=4，从而四边形PMQN面积为8；设直线MN的斜率为k，直线MN的方程为：y=k（x-1），直线PQ的方程为y=-$\frac{1}{k}$（x-1），设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄），由y=k（x-1）与抛物线方程，消去y得到k²x²-（2k²+4）x+k²=0，由抛物线定义可知：|MN|=4+$\frac{4}{{k}^{2}}$由y=-$\frac{1}{k}$（x-1）代入椭圆方程，消去y得（3k²+4）x²-8x+4-12k²=0，求出|PQ|，由此求出S_PMQN＞8，所以四边形PMQN面积的最小值为8．

解答 解：（1）由已知可得动圆圆心轨迹为抛物线，且抛物线C的焦点为（1，0），准线方程为x=1，
则动圆圆心轨迹方程为C：y²=4x；
（2）由题意，M，F₂，N及P，F₁，Q三点共线，设四边形PMQN面积为S
当直线斜率不存在时，|MN|=4，
此时PQ的长即为椭圆长轴长，|PQ|=4，
从而S=$\frac{1}{2}|MN|•|PQ|$=$\frac{1}{2}×4×4$=8，
设直线MN的斜率为k，直线MN的方程为：y=k（x-1），
直线PQ的方程为y=-$\frac{1}{k}$（x-1），
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄），
由y=k（x-1）与抛物线方程，消去y可得k²x²-（2k²+4）x+k²=0，∴x₁+x₂=$\frac{2{k}^{2}+4}{{k}^{2}}$
由抛物线定义可知：|MN|=|MF₂|+|NF₂|=x₁+1+x₂+1=x₁+x₂+2=$\frac{2{k}^{2}+4}{{k}^{2}}$+2=4+$\frac{4}{{k}^{2}}$，
由y=-$\frac{1}{k}$（x-1）代入椭圆方程，消去y得（3k²+4）x²-8x+4-12k²=0，
从而|PQ|=$\sqrt{1+（-\frac{1}{k}）^{2}}•|{x}_{3}-{x}_{4}|$=$\frac{12（1+{k}^{2}）}{3{k}^{2}+4}$，
∴S=$\frac{1}{2}|MN|•|PQ|$=$\frac{1}{2}$（4+$\frac{4}{{k}^{2}}$）•$\frac{12（1+{k}^{2}）}{3{k}^{2}+4}$=8（1+$\frac{2{k}^{2}+3}{3{k}^{4}+4{k}^{2}}$）＞8，
∴直线斜率不存在时，四边形PMQN面积的最小值为8．

点评 本题考查椭圆方程和轨迹方程的求法，考查四边形面积的最小值的求法．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．