Question

17．已知关于x的二次方程ax²+bx+c=0（a＞0，b，c∈R）在区间（0，2）内有两个实根，若$\left\{\begin{array}{l}{c≥1}\\{25a+10b+4c≥4}\end{array}\right.$，则实数a的最小值为（　　）

• A． 1
• B． $\frac{3}{2}$
• C． $\frac{9}{4}$
• D． $\frac{16}{25}$

Answer 1

分析 设f（x）=a（x-p）（x-q）（p，q∈（0，2），利用$\left\{\begin{array}{l}{c≥1}\\{25a+10b+4c≥4}\end{array}\right.$，可得f（0）≥1，f（2.5）≥1，即apq≥1，a（2.5-p）（2.5-q）≥1，可得a²≥$\frac{1}{p（2.5-p）q（2.5-q）}$，利用基本不等式，可得结论．

解答 解：设f（x）=a（x-p）（x-q）（p，q∈（0，2），
∵$\left\{\begin{array}{l}{c≥1}\\{25a+10b+4c≥4}\end{array}\right.$，
∴f（0）≥1，f（2.5）≥1，
∴apq≥1，a（2.5-p）（2.5-q）≥1，
∴a²≥$\frac{1}{p（2.5-p）q（2.5-q）}$，
∵p（2.5-p）q（2.5-q）≤$\frac{625}{256}$，当且仅当p=q=1.25时取等号，
∴a²≥$\frac{256}{625}$，
∴a≥$\frac{16}{25}$，
∴实数a的最小值为$\frac{16}{25}$，
故选：D．

点评 本题考查求实数a的最小值，考查基本不等式的运用，正确设函数是关键．