Question

5．若函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，-π＜φ＜0）的部分图象如图所示．
（1）求ω的值．
（2）若x₀=$\frac{π}{4}$，且M、N、P三点的横坐标成等差数列，已知△ABC的三边满足b²=ac，求f（B）的取值范围．

Answer 1

分析 （1）首先，根据函数的图象，得到该函数的周期，然后，确定ω的值；
（2）结合所给三点成等差数列，得到x_N=$\frac{3π}{8}$，然后，确定φ=-$\frac{π}{4}$，最后，求解范围即可．

解答 解：（1）根据图象，得
$\frac{T}{2}=\frac{π}{4}$，
∴T=$\frac{π}{2}$，
∴$\frac{2π}{ω}=\frac{π}{2}$，
∴ω=4，
（2）∵x₀=$\frac{π}{4}$，
∴x_M=$\frac{π}{4}$，x_P=$\frac{π}{2}$，
∵M、N、P三点的横坐标成等差数列，
∴2x_N=x_M+x_P，
∴x_N=$\frac{3π}{8}$，
∴sin（4×$\frac{π}{4}+$φ）=sin（$4×\frac{3π}{8}$+φ）
∴-sinφ=cosφ，
∴tanφ=-1，
∵-π＜φ＜0，
∴φ=-$\frac{π}{4}$，
∴f（x）=sin（4x-$\frac{π}{4}$）
∵b²=ac，
∴cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$
≥$\frac{2ac-ac}{2ac}$=$\frac{1}{2}$，
∴0＜B≤$\frac{π}{3}$，
∴0＜4B$≤\frac{4π}{3}$，
∴-$\frac{π}{4}$＜4B-$\frac{π}{4}$≤$\frac{13π}{12}$，
∵f（B）=sin（4B-$\frac{π}{4}$），
∴-$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜f（B）≤1，
∴f（B）的取值范围（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]．

点评 本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定解析式、函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，考查函数方程思想、数形结合思想．