Question

4．已知a=${∫}_{-2}^{2}$$\sqrt{4-{x}^{2}}$dx，则（ax+$\frac{1}{x}$）⁶展开式中的常数项为160π³．

Answer 1

分析 由定积分的几何意义可求a值，再由二项式定理可得．

解答 解：a=${∫}_{-2}^{2}$$\sqrt{4-{x}^{2}}$dx表示圆x²+y²=4面积的一半，
故a=$\frac{1}{2}$×π×2²=2π，∴（ax+$\frac{1}{x}$）⁶=（2πx+$\frac{1}{x}$）⁶，
展开式通项为T_k+1=${C}_{6}^{k}$（2πx）^6-k（$\frac{1}{x}$）^k=${C}_{6}^{k}$（2π）^6-kx^6-2k，
令6-2k=0可解得k=3，故展开式中的常数项为T₄=${C}_{6}^{3}$（2π）³=160π³，
故答案为：160π³．

点评 本题考查几何意义求定积分和二项式定理，属中档题．