Question

已知A，B均为锐角，A+B＞

π

2

，求证：对任意x∈（0，+∞），有f（x）=（

cosA

sinB

）^x+（

cosB

sinA

）^x＜2．

Answer 1

考点：同角三角函数基本关系的运用,运用诱导公式化简求值

专题：函数的性质及应用,三角函数的求值

分析：由已知中A，B均为锐角，A+B＞

π

2

，可得A＞

π

2

-B，B＞

π

2

-A，进而结合诱导公式和余弦函数的单调性，可得0＜cosA＜sinB，且0＜cosB＜sinA，再由指数函数的图象和性质证得结论．

解答： 证明：∵A，B均为锐角，A+B＞

π

2

，
∴A＞

π

2

-B＞0，B＞

π

2

-A＞0，
∴0＜cosA＜cos（

π

2

-B）=sinB，且0＜cosB＜cos（

π

2

-A）=sinA，
∴0＜

cosA

sinB

＜1，且0＜

cosB

sinA

＜1，
∴当x∈（0，+∞）时，
f（x）=（

cosA

sinB

）^x+（

cosB

sinA

）^x＜1+1=2

点评：本题考查的知识点是诱导公式，余弦函数的单调性，指数函数的图象和性质，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．