Question

已知椭圆C的离心率e=

2

2

，长轴的左右端点分别为A₁（-

2

，0），A₂（

2

，0）．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设动直线l：y=kx+b与曲线C有且只有一个公共点P，且与直线x=2相交于点Q．问在x轴上是否存在定点N，使得以PQ为直径的圆恒过定点N，若存在，求出N点坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）根据离心率e=

2

2

，长轴的左右端点分别为A₁（-

2

，0），A₂（

2

，0），求出几何量，即可求椭圆C的方程；
（Ⅱ）直线l：y=kx+b与曲线C联立，消去y，利用曲线C与直线l只有一个公共点，得△=0，可得b²=2k²+1，求出P，Q的坐标，利用以PQ为直径的圆恒过定点，建立等式，即可求出N点坐标．

解答： 解：（Ⅰ）由已知a=

2

，e=

c

a

=

2

2

----（2分）
∴c=1，b=

a2-c2

=1，
∴椭圆C的方程为

x2

2

+y2=1；----（4分）
（Ⅱ）

y=kx+b x2 2 +y2=1

消去y得（2k²+1）x²+4kbx+2b²-2=0，
∵曲线C与直线l只有一个公共点，∴△=0，
可得b²=2k²+1（*）----（6分）
设P（x_P，y_P），
∴xP=

-4kb

2(2k2+1)

=-

2k

b

，yP=kxP+b=

1

b

，∴P(-

2k

b

，

1

b

)．---（8分）
又由

y=kx+b x=2

，
∴Q（2，2k+b）----（9分）
设在x轴上存在定点N（x₁，0），使得以PQ为直径的圆恒过定点N．
∴NP⊥NQ，即

NP

•

NQ

=0----（10分）
∴(-

2k

b

-x1，

1

b

)(2-x1，2k-b)=0，
∴

2k

b

(x1-1)+

x

2 1

-2x1+1=0对满足b²=2k²+1恒成立，
∴

x1-1=0 x2-2x1+1=0

，∴x₁=1
故在x轴上存在定点N（1，0），使得以PQ为直径的圆恒过定点N．--（14分）

点评：本题主要考查椭圆方程、圆的性质、直线与圆锥曲线的位置关系，考查运算能力，考查化归思想，属于中档题．