Question

已知函数f（x）=

1

2

cos²x-

1

2

sin²x+sinxcosx+

1

2

．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）锐角三角形ABC的三内角分别为角A、B、C且f（

A

2

-

π

8

）=

2+ 6

4

，求sinB+sinC的取值范围．

Answer 1

考点：同角三角函数基本关系的运用,正弦函数的单调性

专题：三角函数的求值

分析：f（x）解析式利用二倍角的正弦、余弦函数公式好化简，再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，
（Ⅰ）根据正弦函数的递增区间即可确定出函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）根据f（

A

2

-

π

8

）=

2+ 6

4

，结合f（x）解析式求出A的度数，确定出B的范围，用B表示出C代入sinB+sinC中，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角得正弦函数，根据正弦函数的值域即可确定出范围．

解答： 解：f（x）=

1

2

cos2x+

1

2

sin2x+

1

2

=

2

2

sin（2x+

π

4

）+

1

2

，
（Ⅰ）令2kπ-

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

π

2

（k∈Z），得到kπ-

3π

8

≤x≤kπ+

π

8

（k∈Z），
则函数f（x）的单调递增区间为[kπ-

3π

8

，kπ+

π

8

]（k∈Z）；
（Ⅱ）由f（

A

2

-

π

8

）=

2+ 6

4

，得到

2

2

sinA+

1

2

=

2+ 6

4

，即sinA=

3

2

，
∵△ABC为锐角三角形，∴A=

π

3

，
∵0＜B＜

π

2

，0＜C=

2π

3

-B＜

π

2

，
∴

π

6

＜B＜

π

2

，
∴sinB+sinC=sinB+sin（B+

π

3

）=

3

2

sinB+

3

2

cosB=

3

sin（B+

π

6

），
∵

π

6

＜B＜

π

2

，∴

π

3

＜B+

π

6

＜

2π

3

，
∴

3

2

＜sin（B+

π

6

）≤1，即

3

2

＜

3

sin（B+

π

6

）≤

3

，
则sinB+sinC的范围为（

3

2

，

3

]．

点评：此题考查了同角三角函数基本关系的运用，以及正弦函数的单调性，熟练掌握基本关系是解本题的关键．