Question

1．定义：如果函数f（x）在给定区间[a，b]上存在x₀∈（a，b），满足$f（{x_0}）=\frac{f（b）-f（a）}{b-a}$，则称函数f（x）是[a，b]上的“斜率等值函数”，x₀是函数f（x）的一个等值点．例如函数f（x）=x²是[-2，2]上的“斜率等值函数”，0是它的一个等值点．给出以下命题：
①函数f（x）=cosx-1是[-2π，2π]上的“斜率等值函数”；
②若f（x）是[a，b]上的偶函数，则它一定是[a，b]上的“斜率等值函数”；
③若f（x）是[a，b]上的“斜率等值函数”，则它的等值点x₀≥$\frac{a+b}{2}$；
④若函数f（x）=x²-mx-1是[-1，1]上的“斜率等值函数”，则实数m的取值范围是（0，2）；
⑤若f（x）=lnx是区间[a，b]（b＞a≥1）上的“斜率等值函数”，x₀是它的一个等值点，则$ln{x_0}＜\frac{1}{{\sqrt{ab}}}$．
其中的真命题有①④⑤．（写出所有真命题的序号）

Answer 1

分析 ①由$\frac{f（2π）-f（-2π）}{2π-（-2π）}$=$\frac{cos2π-1-（cos（-2π）-1）}{4π}$=0，而f（0）=cos0-1=0，即可判断出是否是“斜率等值函数”；
②反例：f（x）=cosx+1是$[-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}]$上的偶函数，$\frac{f（\frac{π}{2}）-f（-\frac{π}{2}）}{\frac{π}{2}-（-\frac{π}{2}）}$=0，而?x∈$[-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}]$，则f（x）≥1，因此f（x）不存在等值点；
③反例：取函数f（x）=cosx-1是[-4π，4π]上的“斜率等值函数”，则等值点x₀=-2π是一个等值点，但是不满足-2π≥$\frac{-4π+4π}{2}$=0，即可判断出真假；

④由函数f（x）是[-1，1]“斜率等值函数”，$\frac{f（1）-f（-1）}{1-（-1）}$=-m，可得f（x₀）=${x}_{0}^{2}$-mx₀-1=m，m=x₀+1，即可得出实数m的取值范围；
⑤由已知可得$ln{x}_{0}=\frac{lnb-lna}{b-a}$，下面证明$\frac{lnb-lna}{b-a}$＜$\frac{1}{\sqrt{ab}}$，即证明$ln\frac{b}{a}$-$\sqrt{\frac{b}{a}}+\sqrt{\frac{a}{b}}$＜0，令$\sqrt{\frac{b}{a}}$=t＞1，即证明g（t）=2lnt-t+$\frac{1}{t}$＜0，利用导数研究其单调性极值与最值即可得出．

解答 解：①由$\frac{f（2π）-f（-2π）}{2π-（-2π）}$=$\frac{cos2π-1-（cos（-2π）-1）}{4π}$=0，而f（0）=cos0-1=0，∴函数f（x）=cosx-1是[-2π，2π]上的“斜率等值函数”，正确；
②反例：f（x）=cosx+1是$[-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}]$上的偶函数，$\frac{f（\frac{π}{2}）-f（-\frac{π}{2}）}{\frac{π}{2}-（-\frac{π}{2}）}$=0，而?x∈$[-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}]$，则f（x）≥1，因此f（x）不是$[-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}]$上的“斜率等值函数”，因此是假命题；
③反例：取函数f（x）=cosx-1是[-4π，4π]上的“斜率等值函数”，则等值点x₀=-2π是一个等值点，但是-2π＜$\frac{-4π+4π}{2}$=0，因此是假命题；

④若函数f（x）=x²-mx-1是[-1，1]上的“斜率等值函数”，$\frac{f（1）-f（-1）}{1-（-1）}$=-m，设x₀∈（-1，1）是函数f（x）的等值点，则f（x₀）=${x}_{0}^{2}$-mx₀-1=m，
m=x₀+1∈（0，2），因此实数m的取值范围是（0，2），是真命题；
⑤若f（x）=lnx是区间[a，b]（b＞a≥1）上的“斜率等值函数”，则$ln{x}_{0}=\frac{lnb-lna}{b-a}$，下面证明$\frac{lnb-lna}{b-a}$＜$\frac{1}{\sqrt{ab}}$，即证明$ln\frac{b}{a}$-$\sqrt{\frac{b}{a}}+\sqrt{\frac{a}{b}}$＜0，
令$\sqrt{\frac{b}{a}}$=t＞1，即证明g（t）=2lnt-t+$\frac{1}{t}$＜0，由g′（t）=$\frac{2}{t}-1-\frac{1}{{t}^{2}}$=$\frac{-（t-1）^{2}}{{t}^{2}}$＜0，∴函数g（t）在（1，+∞）上单调递减，∴g（t）＜g（1）=0，因此2lnt-t+$\frac{1}{t}$＜0成立，即
x₀是它的一个等值点，则$ln{x_0}＜\frac{1}{{\sqrt{ab}}}$．
综上可得：其中的真命题有 ①④⑤．
故答案为：①④⑤．

点评 本题考查了新定义“斜率等值函数”、斜率计算公式、利用导数研究函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．