Question

已知函数f（x）=3^x，且f（a+2）=18，g（x）=3^ax-4^x的定义域为区间[-1，1]．
（1）求g（x）的解析式；
（2）判断g（x）的单调性．

Answer 1

分析：（1）由f（x）=3^x，且f（a+2）=18，得3^a=2，由此能求出g（x）的解析式．
（2）由g（x）=-（2^x）²+2^x=-（2^x-2）²+

1

4

，知当x∈[-1，1]时，2x∈[

1

2

，2]，由此能导出函数g（x）在[-1，1]上是减函数．

解答：解：（1）∵f（x）=3^x，且f（a+2）=18，
∴3^a+2=18，3^a=2，
故g（x）=3^ax-4^x=2^x-4^x，x∈[-1，1]．
（2）∵g（x）=-（2^x）²+2^x=-（2^x-2）²+

1

4

，
当x∈[-1，1]时，2x∈[

1

2

，2]，
令t=2^x，由二次函数的单调性，得
-(t-

1

2

)2+

1

4

在[

1

2

，2]上是减函数，
∴函数g（x）在[-1，1]上是减函数．

点评：本题考查函数的性质和应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．