Question

2．已知动点M（x，y）到直线ι：x=4的距离是它到点N（1，0）的距离的2倍．
（1）求动点M的轨迹C的方程；
（2）过点P（0，3）的直线m与轨迹C交于A，B两点，若A是PB的中点，求点A的坐标．

Answer 1

分析 （1）由已知得|x-4|=2$\sqrt{{{（x-1）}^2}+{y^2}}$，由此能求出动点M的轨迹方程．
（2）P（0，3），设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由A是PB的中点，得2x₁=x₂，设直线m的方程为y=kx+3，代入椭圆，得（3+4k²）x²+24kx+24=0，由此能求出点A的坐标．

解答 解：（1）点M（x，y）到直线x=4的距离是它到点N（1，0）的距离的2倍，
则|x-4|=2$\sqrt{{{（x-1）}^2}+{y^2}}$，即（x-4）²=4（x-1）²+4y²，整理得$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$，
所以，动点M的轨迹是椭圆，方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
（2）P（0，3），设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由A是PB的中点，得2x₁=x₂，椭圆的上下顶点坐标分别是（0，3）和（0，-3），
经检验直线m不经过这两点，即直线m的斜率k存在，
设直线m的方程为y=kx+3，联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+3}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，得$（3+4{k^2}）{x^2}+24kx+24=0，{x_1}+{x_2}=-\frac{24k}{{3+4{k^2}}}$，
所以$\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}=\frac{5}{2}$，得$k=±\frac{3}{2}$，
设直线m的方程为$y=±\frac{3}{2}x+3$，则$\left\{\begin{array}{l}{2{x}_{1}={x}_{2}}\\{{x}_{1}{x}_{2}=-\frac{24k}{3+4{k}^{2}}}\end{array}\right.$，得$A（±1，\frac{3}{2}）$．

点评 本题考查点的轨迹方程的求法，考查点的坐标的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意两点间距离公式、椭圆性质、韦达定理的合理运用．