Question

18．已知数列{a_n}的前n项和S_n，且S_n+1=4a_n+2（n∈N^*），a₁=1，数列{b_n}满足：b_n=a_n+1-2a_n．
（1）求证：数列{b_n}是等比数列；
（2）求数列{b_n}的通项公式．

Answer 1

分析 （1）由S_n+1=4a_n+2（n∈N^*），a₁=1，可得a₂=5．当n≥2时，可得a_n+1-2a_n=2（a_n-2a_n-1），由于数列{b_n}满足：b_n=a_n+1-2a_n．即可证明b_n=2b_n-1，
（2）利用等比数列的通项公式即可得出．

解答 （1）证明：∵S_n+1=4a_n+2（n∈N^*），a₁=1，
可得a₁+a₂=4a₁+2，解得a₂=5．
∴当n≥2时，S_n=4a_n-1+2，可得a_n+1=4a_n-4a_n-1，
变形为a_n+1-2a_n=2（a_n-2a_n-1），
∵数列{b_n}满足：b_n=a_n+1-2a_n．
∴b_n=2b_n-1，
∴数列{b_n}是等比数列，首项为a₂-2a₁=3，公比为2．
（2）解：由（1）可得：${b}_{n}=3×{2}^{n-1}$．

点评 本题考查了递推式的应用、等比数列的通项公式，考查了变形能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．