Question

设函数f（x）=x³-x²-x+2．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间和极值；
（Ⅱ）若当x∈[-1，2]时，-3≤af（x）+b≤3，求a-b的最大值．

Answer 1

（Ⅰ）f'（x）=3x²-2x-1=（3x+1）（x-1）．
于是，当x∈(-

1

3

，1)时，f'（x）＜0；x∈(-∞，-

1

3

)∪(1，+∞)时，f'（x）＞0．
故f（x）在(-

1

3

，1)单调减少，在(-∞，-

1

3

)，（1，+∞）单调增加．
当x=-

1

3

时，f（x）取得极大值f(-

1

3

)=

59

27

；
当x=1时，f（x）取得极小值f（1）=1．
（Ⅱ）根据（Ⅰ）及f（-1）=1，f（2）=4，f（x）在[-1，2]的最大值为4，最小值为1．
因此，当x∈[-1，2]时，-3≤af（x）+b≤3的充要条件是

-3≤a+b≤3 -3≤4a+b≤3

，
即a，b满足约束条件

a+b≥-3 a+b≤3 4a+b≥-3 4a+b≤3

，
由线性规划得，a-b的最大值为7．