Question

【题目】函数f（x）=ax3﹣3x+1 对于x∈[﹣1，1]总有f（x）≥0成立，则a 的取值范围为（ ）
A.[2，+∞）
B.[4，+∞）
C.{4}
D.[2，4]

Answer 1

【答案】C
【解析】解：①当x=0时，f（x）=1≥0，对于a∈R皆成立．
②当0＜x≤1时，若总有f（x）≥0，则ax3﹣3x+1≥0，∴ ，
令g（x）= ，g′（x）= = ，令g′（x）=0，解得x= ．
当0 时，g′（x）＞0；当 时，g′（x）＜0．
∴g（x）在x= 时取得最大值，g（ ）=4，∴a≥4．
③当﹣1≤x＜0时，若总有f（x）=0，则 ax3﹣3x+1≥0，∴a≤ ．
令h（x）= ，则h′（x）= ≥0，
∴h（x）在[﹣1，0）上单调递增，
∴当x=﹣1时，h（x）取得最小值，h（﹣1）=4，∴a≤4．
由①②③可知：若函数f（x）=ax3﹣3x+1 对于x∈[﹣1，1]总有f（x）≥0成立，则a必须满足 ，解得a=4．
∴a 的取值范围为{4}．
故选C．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用函数的极值的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握极值反映的是函数在某一点附近的大小情况．