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已知y=f（x）对任意实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy．
（1）求f（0）的值；
（2）若f（1）=1，求f（2），f（3），f（4）值，猜想f（n）表达式并用数学归纳法证明；
（3）若 $数学公式$ ．

解：（1）令x=y=0，则f（0）=0；
（2）f（2）=4，f（3）=9，f（4）=16，猜想f（n）=n²，
①当n=1时，显然成立；
②设n=k时成立，即f（k）=k²，则n=k+1时，f（k+1）=f（k）+f（1）+2k=（k+1）²即=k+1时，成立
综上知f（n）=n²，成立
（3）设 $\text{[math]}$
令 $\text{[math]}$
变形为： $\text{[math]}$ ，因此数列 $\text{[math]}$ 是等比数列，
首项为 $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
分析：（1）分别对x，y赋值0可求；
（2）利用f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy，先分别求f（2），f（3），f（4）值，猜想f（n）=n²，进而进行证明；
（3）先求 $\text{[math]}$ ，再令 $\text{[math]}$ ，从而构建等比数列，最后求和可证．
点评：本题是中档题，考查数学归纳法的证明方法，考查计算能力，逻辑推理能力，常考题型．

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