Question

已知函数f（x）=

∫

x 1

（sint-lgt）dt（x＞1），则f（x）的极大值点的个数为（　　）

• A、0
• B、1
• C、2
• D、3

Answer 1

考点：定积分

专题：导数的概念及应用

分析：首先利用定积分求出函数f（x），然后再求导，绘制出导函数的图象，根据图象得出f（x）的单调区间，和f′（x）=0的点，继而求出函数的极值点．

解答： 解：f（x）=

∫

x 1

（sint-lgt）dt=

∫

x 1

[sint+ln10-[ln10-lgt）]dt=（-cost+ln10•t-tlgt）

|

x 1

=-cosx+ln10•x-xlnx+cos1-ln10
∴f′（x）=sinx-lgx，
绘制导函数的图象如图所示

由图象可知当x在点A，B，C出sinx与lgx有交点，设交点横坐标分别为a，b，c
则当x=a，x=b，x=c时，f′（x）=0，
当f′（x）＞0时，即在（0，a）或（b，c）函数f（x）为憎函数，
当f′（x）＜0时，即在（a，b）或（c，+∞）函数f（x）为减函数，
故在x=a或x=c时函数f（x）有极大值．
故f（x）的极大值点的个数为2个．
故选：C．

点评：本题主要考查了导数和函数的极值的问题，本题的关键是利用数形结合的思想，属于中档题．