Question

已知函数f（x）是定义在R上的奇函数．
（1）请把f（x）解析式填写完整f（x）=

x(2-x)(x≥0) ()(x＜0)

（1）画出函数f（x）的简图；
（3）若g（x）=a，F（x）=f（x）-g（x），当a在

 

范围F（x）有且只有一个零点．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,函数零点的判定定理

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）先设x＜0可得-x＞0，则f（-x）=（-x）²-2（-x）=x²+2x，由函数f（x）为奇函数可得f（x）=-f（-x），可求，结合二次函数的图象可作出f（x）的图象
（II）由二次函数的图象和函数的解析式画出函数f（x）的简图；
（Ⅲ）F（x）=f（x）-g（x）有且只有一个零点，转化为g（x）=a的图象与函数f（x）的图象有且只有一个交点，结合函数的图象可得a的范围．

解答： 解：（Ⅰ）由题意得，当x≥0时，f（x）=x（2-x），
设x＜0可得-x＞0，则f（-x）=（-x）（2+x），
因为函数f（x）为奇函数，则f（x）=-f（-x）=x（2+x），
所以f(x)=

x(2-x)，(x≥0) x(2+x)，(x＜0)

；
（Ⅱ）由f(x)=

x(2-x)，(x≥0) x(2+x)，(x＜0)

画出函数f（x）的简图：

（Ⅲ）F（x）=f（x）-g（x）有且只有一个零点，
则g（x）=a的图象与函数f（x）的图象有且只有一个交点，
由上图可得，a＞1或a＜-1．

点评：本题考查了利用奇函数的性质求解函数的解析式，二次函数的图象，以及方程的根与函数的零点的转化，体现了数形结合思想、转化思想的应用．