Question

3．已知函数f（x）=e^x（x+a）-x²+bx，曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=x-2．
（1）求a，b的值；
（2）求f（x）的单调区间及极值．

Answer 1

分析 （1）求导，f′（x）=e^x（x+a+1）-2x+b，由题意可知：f（0）=a=-2，k=f′（0）=a+b+1=1，即可求得a和b的值；
（2）由（1）可知：f（x）=e^x（x+1）-x²+2x，求导，f′（x）=（e^x-2）（x-1），令f′（x）＞0，求得函数的单调递增区间，f′（x）＜0，求得函数的单调递减区间，即可求得函数极值．

解答 解：（1）由f（x）=e^x（x+a）-x²+bx，
求导，f′（x）=e^x（x+a+1）-2x+b，
由已知可得f（0）=a=-2，
由k=0，
∴f′（0）=a+b+1=1，解得a=-2，b=2．（4分）
（2）由（1）可知：f（x）=e^x（x+1）-x²+2x，
求导f′（x）=（e^x-2）（x-1），
令f′（x）＞0，解得x＜ln2或x＞1，
令f′（x）＜0，解得ln2＜x＜1，
∴f（x）的增区间为（-∞，ln2）与（1，+∞），
减区间为（ln2，1），
∴f（x）的极大值为f（ln2）=-（2-ln2）²，
极小值为f（1）=-e+1．

点评 本题考查导数的几何意义，导数与曲线切线方程的关系，考查利用导数求函数的单调性及极值，考查计算能力，属于中档题．