Question

15．已知函数f（x）=log_ax（a＞0，a≠1）在区间[2，4]上的最大值与最小值的差为2，则a的值是$\sqrt{2}或\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 对底数进行分类讨论，然后根据单调性进行判断函数在[2，4]上的最大值与最小值，根据最大值与最小值之差为2构造方程即可求解．

解答 解：当0＜a＜1时，f（x）=log_ax在[2，4]上单调递减，
故函数的最大值为f（2），最小值为f（4），
则f（2）-f（4）=log_a2-log_a4=log_a$\frac{1}{2}$=2，
解得a=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
当a＞1时，f（x）=log_ax在[2，4]上单调递增，
故函数的最大值为f（4），最小值为f（2），
则f（4）-f（2）=log_a4-log_a2=log_a2=2，
解得a=$\sqrt{2}$．
故答案为：$\sqrt{2}或\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 在处理指数函数和对数函数问题时，若对数未知，一般情况下要对底数进行分类讨论，分为0＜a＜1，a＞1两种情况，然后在每种情况对问题进行解答，然后再将结论综合，得到最终的结果．