Question

已知函数为偶函数．

(1)求的值；

(2)若方程有且只有一个根，求实数的取值范围．

 

Answer 1

（1）－，（2）{a|a>1或a＝－2－2}

【解析】

试题分析：（1）根据偶函数性质列等量关系：∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，即log4(4－x＋1)－kx＝log4(4x＋1)＋kx，即(2k＋1)x＝0，∴k＝－.（2）先将方程转化为一元二次方程.由 得log4(4x＋1)－x＝log4 (a·2x－a)，即令t＝2x，则(1－a)t2＋at＋1＝0，只需其有一正根即可满足题意．①当a＝1时，t＝－1，不合题意，舍去．②有一正一负根， ，a>1. ③有两根相等，a＝－2(＋1)．

【解析】
(1)∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，

即log4(4－x＋1)－kx＝log4(4x＋1)＋kx，

即(2k＋1)x＝0，∴k＝－. 6分

(2)依题意令log4(4x＋1)－x＝log4 (a·2x－a)，

即 8分

令t＝2x，则(1－a)t2＋at＋1＝0，只需其有一正根即可满足题意．

①当a＝1时，t＝－1，不合题意，舍去． 9分

②上式有一正一负根t1，t2，

即，得a>1.

此时，a·2x－a=>0， ∴a>1. ------11分

③上式有两根相等，即Δ＝0⇒a＝±2－2，此时t＝，

若a＝2(－1)，则有t＝<0，此时方程(1－a)t2＋at＋1＝0无正根，

故a＝2(－1)舍去； 13分

若a＝－2(＋1)，则有t＝>0，且a· 2x－a＝a(t－1)＝a＝>0，因此a＝－2(＋1)． 15分

综上所述，a的取值范围为{a|a>1或a＝－2－2}． 16分

考点：偶函数，二次方程根与系数关系