Question

已知函数f（x）=

1

2

x2+alnx，g（x）=（a+1）x（a≠-1），H（x）=f（x）-g（x）．
（1）若函数f（x）、g（x）在区间[1，2]上都为单调函数且它们的单调性相同，求实数a的取值范围；
（2）α、β是函数H（x）的两个极值点，α＜β，β∈（1，e]（e=2.71828…）．求证：对任意的x₁、x₂∈[α，β]，不等式|H（x₁）-H（x₂）|＜1成立．

Answer 1

分析：（1）f′(x)=x+

a

x

，g′(x)=a+1，H(x)=

1

2

x2+alnx-(a+1)x，（由f（x），g（x）在区间[1，2]上都为单调函数，且它们的单调性相同，知f′(x)•g′(x)=

x2+a

x

•(a+1)＞0，由（a+1）（a+x²）≥0，a≤-x²，（-x²）_min=-4，能导出实数a的取值范围．
（2）由H′(x)=x+

a

x

-(a+1)=

x2-(a+1)x+a

x

=

(x-1)(x-a)

x

=0，知x=1或x=a，由x²-（a+1）x+a=0有两个不相等的正根α，β，且α＜β，β∈（1，e]，知α=1，β=a∈（1，e]，由此能得到不等式|H（x₁）-H（x₂）|＜1对任意的x₁，x₂∈[α，β]成立．

解答：解：（1）f′(x)=x+

a

x

，g′(x)=a+1，
H(x)=

1

2

x2+alnx-(a+1)x，
∵f（x），g（x）在区间[1，2]上都为单调函数，且它们的单调性相同，
∴f′(x)•g′(x)=

x2+a

x

•(a+1)＞0，
∵x∈[1，2]，∴（a+1）（a+x²）≥0，
-x²≤-1，∴a≤-x²或a＞-1（a≠-1），又（-x²）_min=-4，
∴a≤-4或a＞-1．
（2）∵H′(x)=x+

a

x

-(a+1)=

x2-(a+1)x+a

x

=

(x-1)(x-a)

x

=0?x=1或x=a，
又∵x²-（a+1）x+a=0有两个不相等的正根α，β，且α＜β，β∈（1，e]，
∴α=1，β=a∈（1，e]，∴当x∈[α，β]时，H′（x）≤0，
∴H（x）在[α，β]上单调单调递减，
∴H（x）_max=H（1），H（x）_min=H（β），
则对任意的x₁，x₂∈[α，β]，
|H（x₁）-H（x₂）|≤H(1)-H(β)=[

1

2

-(a+1)]-[

1

2

a2+alna-a(a+1) ]
=

1

2

a2-alna-

1

2

．
设t（a）=

1

2

a2-alna-

1

2

，则t′（a）=a-1-lna，
∵当a∈（1，e]时，t″(a)=1-

1

a

＞0，∴t′（a）在（1，e]单调递增，
∴t′（a）＞t′（1）=0，∴t（a）也在（1，e]单调递增，
∴t(a)≤t(e)=

1

2

e2-e-

1

2

 =e(

e

2

-1) -

1

2

＜3(

3

2

-1)-

1

2

=1，
∴不等式|H（x₁）-H（x₂）|＜1对任意的x₁，x₂∈[α，β]成立．

点评：本题考查导数在求函数单调性中的运用，难度较大，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的合理选用．