Question

如图，已知点B在以AC为直径的圆上，SA⊥面ABC，AE⊥SB于E，AF⊥SC于F．
（Ⅰ）证明：SC⊥EF；
（Ⅱ）若SA=a，∠ASC=45°，∠AFE=30°，求三棱锥S-AEF的体积．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的性质

专题：空间位置关系与距离

分析：（I）由SA⊥BC，得BC⊥面SAB，从而BC⊥AE．由AE⊥SB，BC⊥AE，得AE⊥面SBC，由此能证明SC⊥EF．
（Ⅱ）由已知得AF=SF=

2

2

a，AE⊥面SBC，由此能求出三棱锥S-AEF的体积．

解答： （I）解：∵SA⊥面ABC，∴SA⊥BC，
∵B在以AC为直径的圆上，
∴BC⊥面SAB，又AE?平面SAB，
∴BC⊥AE．
∵AE⊥SB，BC⊥AE，SB∩BC=B，
∴AE⊥面SBC，又SC?面SBC，
∴AE⊥SC．
∵AE⊥SC，AF⊥SC，AE∩AF=A，
∴SC⊥平面AEF，又EF?平面AEF，
∴SC⊥EF．
（Ⅱ）Rt△SAC中，∵SA=a，∠ASC=450∴AC=a，SC=

2

a，
又AF⊥SC，∴F为SC的中点，∴AF=SF=

2

2

a，
由（I）知AE⊥面SBC，
∴在Rt△AEF中，由AF=

2

2

a，∠AFE=300
得AE=

2

4

a，EF=

6

4

a，
∴S△AEF=

1

2

×

2

4

a×

6

4

a=

3

16

a2，
由（I）知SC⊥面AEF，∴VS-AEF=

1

3

×

3

16

a2×

2

2

a=

6

96

a3．

点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．