Question

如图，四边形ABCD内接于⊙O，边AD，BC的延长线交于点P，直线AE切⊙O于点A，且AB•CD=AD•PC．求证：
（Ⅰ）△ABD∽△CPD；
（Ⅱ）AE∥BP．

Answer 1

考点：相似三角形的判定,平行线分线段成比例定理

专题：选作题,立体几何

分析：（Ⅰ）已知AB•CD=AD•PC，即

AB

PC

=

AD

CD

，所以要证△ABD∽△CPD，只需证得两组对应边的夹角相等即可，而这组角可通过圆内接四边形的性质求得；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的基础上，可求得∠ABD=∠P；根据弦切角定理可求得∠EAD=∠ABD，即∠EAD=∠P；内错角相等，可证得两直线平行．

解答： 证明：（Ⅰ）∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠BAD=∠DCP．
又AB•CD=AD•PC，
∴

AB

PC

=

AD

CD

．
∴△ABD∽△CPD．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得∠ABD=∠P．
又AE为切线，AD为弦，
∴∠EAD=∠ABD，即∠P=∠EAD．
∴AE∥BP．

点评：本题主要考查了圆内接四边形的性质、切线的性质、相似三角形的判定和性质等知识的综合应用．