Question

设f（x）=x⁸-x⁵+x²-x+1，则以下说法正确的是（　　）

• A、当x＞0，f（x）≤0
• B、?x∈R，f（x）＜0
• C、?x∈R，f（x）＞0
• D、以上均不正确

Answer 1

考点：全称命题

专题：函数的性质及应用

分析：根据幂函数的性质分别讨论x≥0和x＜0时函数值的取值情况，即可得到结论．

解答： 解：当x=0时，f（x）=1＞0，
当x＞1，根据指数函数的性质可知x⁸＞x⁵，x²＞x，即x⁸-x⁵＞0，x²-x＞0，则f（x）=x⁸-x⁵+x²-x+1＞1，
当x=1时，f（x）=1，
若0＜x＜1，x²＞x⁵，1-x＞0，即f（x）=x⁸-x⁵+x²-x+1=x⁸+（x²-x⁵）+1-x＞0，
当x＜0，则x⁸＞0，-x⁵＞0，x²＞0，-x＞0，则f（x）=x⁸-x⁵+x²-x+1＞1，
综上f（x）=x⁸-x⁵+x²-x+1≥1，即?x∈R，f（x）＞0成立．
故选：C

点评：本题主要考查函数值的判断，利用分类讨论的数学思想是解决本题的关键．