Question

已知曲线C的方程为y²=4x，过原点作斜率为1的直线和曲线C相交，另一个交点记为P₁，过P₁作斜率为2的直线与曲线C相交，另一个交点记为P₂，过P₂作斜率为4的直线与曲线C相交，另一个交点记为P₃，…，如此下去，一般地，过点P_n作斜率为2ⁿ的直线与曲线C相交，另一个交点记为P_n+1，设点P_n（x_n，y_n）（n∈N^*）．
（1）指出y₁，并求y_n+1与y_n的关系式（n∈N^*）；
（2）求{y_2n-1}（n∈N^*）的通项公式，并指出点列P₁，P₃，…，P_2n+1，…向哪一点无限接近？说明理由；
（3）令a_n=y_2n+1-y_2n-1，数列{a_n}的前n项和为S_n，设b_n=

1

3 4 Sn+1

，求所有可能的乘积b_i•b_j（1≤i≤j≤n）的和．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）利用曲线的相交关系，联立方程组求解；
（2）由（1）得出y_2n-1-y_2n-3=-(

1

4

)n-2 （n≥2），利用累加法求通项公式；
（3）借助矩阵研究并所有可能的乘积b_i•b_j（1≤i≤j≤n）的和．

解答： 解：（1）y₁=4---------------1分
设P_n（x_n，y_n），P_n+1（x_n+1，y_n+1），由题意得

y 2 n =4xn y 2 n+1 =4xn+1 yn+1-yn xn+1-xn =2n

，----------------2分
解得y_n+1+y_n=4•(

1

2

)n．------------------------------------------------4分
（2）分别用2n-3、2n-2代换上式中的n得

y2n-2+y2n-3=4•( 1 2 )2n-3 y2n-1+y2n-2=4( 1 2 )2n-2

⇒y_2n-1-y_2n-3=-2•(

1

2

)2n-3=-(

1

4

)n-2  （n≥2）------------------------6分
又y₁=4，y_2n-1=

8

3

+

4

3

(

1

4

)n-1（n∈N^*），----------------------------------8分
∵

lim

n→∞

y_2n-1=

8

3

，∴点列P₁，P₃，…，P_2n+1，…向点（

16

9

，

8

3

）无限接近-------10分
（3）∵a_n=y_2n+1-y_2n-1=-(

1

4

)n-1，∴S_n=-

4

3

•[1-(

1

4

)n]，-------------------11分
bⁿ=4ⁿ，b_ib_j=4^i+j  （1≤i≤j≤n）．--------------------------------12分
将所得的积排成如下矩阵：
A=

41+1 41+2 41+3 … 41+n   42+2 42+3 … 42+n     43+3 … 43+n       … …         4n+n

，设矩阵A的各项和为S．
在矩阵的左下方补上相应的数可得B=

41+1 41+2 41+3 … 41+n 42+1 42+2 42+3 … 42+n 43+1 43+2 43+3 … 43+n       … … 4n+1 4n+2 4n+3 … 4n+n

，
矩阵B中第一行的各数和S₁=4²+4³+…+4ⁿ⁺¹=

16

3

(4n-1)，
矩阵B中第二行的各数和S₂=4³+4⁴+…+4ⁿ⁺²=

64

3

(4n-1)，
…
矩阵B中第N行的各数和S_n=4ⁿ⁺¹+4ⁿ⁺²+…+4ⁿ⁺ⁿ=

4n+1

3

(4n-1)，--------15分
从而矩阵B中的所有数之和为S₁+S₂+…+S_n=

16

9

(4n-1)---------------16分
所有可能的乘积b_i•b_j（1≤i≤j≤n）的和
S=

1

2

[

16

9

（4ⁿ-1）²-（4²+4⁴+…+4²ⁿ）]+（4²+4⁴+…+4²ⁿ）
=

42n+3-5•4n+2+16

45

．-----------------------------------------18分

点评：考查直线与曲线的交点问题的处理方法，以及数列求和的方法，借助矩阵研究数列问题的方法．