Question

已知函数f（x）=x+

a

x

，其中常数a＞0
（1）证明：函数f（x）在（0，

a

]上是减函数，在[

a

，+∞）上是增函数；
（2）利用（1）的结论，求函数y=x+

20

x

（x∈[4，6]）的值域；
（3）借助（1）的结论，试指出函数g（x）=

-7x

x2

+x+1(x＞0)的单调区间，不必证明．

Answer 1

考点：函数单调性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）利用导数判断函数的单调性；
（2）由（1）知函数y=x+

20

x

在[4，

20

]上为减函数，在[

20

，6]上为增函数，即可求得最值；
（3）由（1）的结论写出即可．

解答： （1）证明：∵f（x）=x+

a

x

，∴f′（x）=1-

a

x2

∴由1-

a

x2

≥0得x≤-

a

或x≥

a

，故f（x）在[

a

，+∞）上是增函数；
由1-

a

x2

≤0得，-

a

≤x≤

a

，又x≠0，故-

a

≤x＜0或0＜x≤

a

，
故f（x）在（0，

a

]上是减函数．
（2）由（1）知函数y=x+

20

x

在[4，

20

]上为减函数，在[

20

，6]上为增函数，
∴当x=

20

时，y_min=2

20

，又当x=4时，y=9，当x=6时，y=

28

3

∴y_max=

28

3

；
综上可得，函数y=x+

20

x

（x∈[4，6]）的值域是[2

20

，

28

3

]．
（3）∵g（x）=

-7x

x2

+x+1(x＞0)
∴g（x）=x-

7

x

+1，
∴由（1）可知函数g（x）=

-7x

x2

+x+1(x＞0)在（0，+∞）上是增函数，
故函数g（x）=

-7x

x2

+x+1(x＞0)的递增区间是（0，+∞）．

点评：考查导数单调性的判断方法以及利用函数的单调性求最值的方法．