Question

如图，已知四棱锥P-ABCD的底面为菱形，∠BCD=60°，PD⊥AD．点E是BC边上的中点．
（1）求证：AD⊥面PDE；
（2）若二面角P-AD-C的大小等于60°，且AB=4，PD=；①求V_P-ABED； ②求二面角P-AB-C大小．

Answer 1

（1）证明：∵E为BC边中点∴
又∵∠BCD=60°∴DE⊥BC∴DE⊥AD
∵PD⊥AD∴AD⊥面PDE
（2）解：∵AD⊥面PDE∴AD⊥PD，AD⊥DE
∴∠PDE为二面角P-AD-C的平面角∴∠PDE=60°
过P作PF⊥DE交于F，则PF⊥面ABCD
∴PF=PDsin60°=4，
在底面ABCD中：
∴
∴①V_P-ABED=
②连接BF．∵，BE=2
∴∴∠EBF=30°
∴∠FBA=120°-30°=90°∴FB⊥AB
∵PF⊥面ABCD∴PB⊥AB
∴∠PBF为二面角P-AB-C平面角．
在△BEF中：
∴，∴∠PBF=60°
∴二面角P-AB-C为60°
分析：（1）先证明DE⊥AD，根据PD⊥AD，从而可证AD⊥面PDE
（2）①由（1）可知∠PDE为二面角P-AD-C的平面角，过P作PF⊥DE交于F，则PF⊥面ABCD，从而可求PF=PDsin60°=4，又易求，从而可求V_P-ABED．
②连接BF．可得∠PBF为二面角P-AB-C平面角．在△BEF中，可求，从而可求二面角P-AB-C的平面角．
点评：本题以四棱锥为载体，考查线面垂直，考查四棱锥的体积，考查面面角，综合性强．