Question

有下列命题：①函数y=cos(x+

π

2

)是偶函数；②直线x=

π

8

是函数y=sin(2x+

π

4

)图象的一条对称轴；③函数y=sin(x+

π

6

)在(-

π

2

，

π

3

)上是单调增函数；④(

2π

3

，0)是函数y=tan(x+

π

3

)图象的对称中心．其中正确命题的序号是

 

．（把所有正确的序号都填上）

Answer 1

分析：先利用诱导公式化简函数y=cos(x+

π

2

)，再判断其奇偶性；然后利用y=sinx的对称轴是使函数值等于1时的x的值，其单调区间是【-

π

2

+2kπ，

π

2

+2kπ，k∈N₊】来判断②③，另外正切函数的对称中心是使函数值为0的x的值，可判断④．

解答：解：①y=cos(x+

π

2

)=sin（-x）=-sinx，所以①为奇函数；②y=sinx的对称轴是x=

π

2

+kπ，令2x+

π

4

=

π

2

+kπ，x=

π

8

+

kπ

2

，当k=0时，x=

π

8

，所以②正确；③y=sin(x+

π

6

)的递增区间为-

π

2

+2kπ≤x+

π

6

≤

π

2

+2kπ，得-

2π

3

+2kπ≤ x ≤

π

3

+ 2kπ，（-

π

2

，

π

3

）在该区间范围内，所以③正确；④y=tan(x+

π

3

)的对称中心为x+

π

3

=kπ，当k=1时，x=

2π

3

，所以④正确，故答案为②③④．

点评：判断三角函数的奇偶性，对称，单调区间等问题是本章的热点考点，解答这类问题的关键是关键是熟记正弦，余弦与正切函数的变换规律．如正弦函数y=sinx是奇函数，余弦函数y=cosx是偶函数，y=sinx的对称中心是使函数值等于0时的x的值等知识点，考查综合应用知识的能力．