Question

【题目】已知函数在处取得极值.

（1）若，求函数的单调区间；

（2）若，函数，若存在、，使得成立，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）.

【解析】

（1）由可得出，令得出，，然后讨论与的大小关系，结合导数可得出函数的单调增区间和减区间；

（2）利用导数求得函数在区间上的最大值为，利用二次函数的基本性质得出函数在区间上的最小值为，由此可得出，进而可解得实数的取值范围.

（1）函数的定义域为，，

由题意可知，，则，

，

令，则，.

因为是函数的极值点，所以，即.

①当时，即当时，解不等式，得或；解不等式，解得.

此时，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为；

②当时，即当时，解不等式，得或；解不等式，解得.

此时，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为.

综上所述，当时，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为；

当时，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为；

（2）当时，函数在上为增函数，在为减函数，

所以，函数的最大值为，

因为函数在上是单调递增函数，

所以，函数的最小值为，

所以，在上恒成立.

要使存在、，使得成立，

只需要，即，所以.

又因为，所以实数的取值范围是.